保険のウソホント?!

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総務・人事をご担当されておられる方、或いは社会保険労務士の有資格者の方に質問です。
上司を説得して現状を改善したいと考えております。
現在パートやアルバイトの従業員を多数雇用している企業にて総務・人事を担当しております。
従業員が退職した場合、健康保険や厚生年金の資格喪失手続きは、社会保険事務所へ郵送にての手続きが可能ですが、雇用保険の資格喪失手続きは、原則的にハローワークへ担当者が行かなければなりません。
雇用保険の資格喪失手続き、及び退職された方への離職票の送付について、雇用保険法では「速やかに」と規定されており、社会通念上は10日以内に(ネットで調べてみました)行わなければならないとの事でした。
また、ハローワークにて確認致しました所、上記の期日を過ぎても、資格喪失の手続きは可能であるとの事でしたが、同時に「手続きを行わないと被保険者の不利益になるからで、事業主の為ではありません」と釘をさされました。
しかし、現在総務担当は私を含めて2名(上司と私の2名です)にて業務を行っており、なかなか席を外す訳にも行かず資格喪失手続きも離職票の送付も概ね1ヶ月程度かかっているのが現状です。
私としましては、待機期間と給付制限期間を考えると、退職された方々に出来得る限り「速やかに」を実現したいと考えておりますが、前任者や上司に相談した所、「雇用保険法は知っているが、条文に具体的な期日は無いのだから大丈夫」(上司)「今までやって来て、辞めた人に文句を言われたことは無いし、事情がある人だけ急いでやってあげれば良い」(上司と前任者)とのことでした。
でも、もしかしたら退職された方からある日突然電話があり、「資格喪失手続きを遅延されたので、失業保険の給付時期が遅くなり生活に困窮した」とか「忙しいのは分かるが、現状容認は企業として順法精神に欠ける」なんて事を言われないか心配です。
雇用保険法には罰則もありますし、ちょっと気の利いた方であれば、雇用保険法の罰則を引き合いに出して、損害賠償請求出来そうに思えるのですが如何でしょうか。
私としましては、人員を1人でも増やして頂ければ、手続きにかかる期間が短縮できると考えております。
いっそのこと私自身が労働基準監督署に申告して、立ち入り調査でもしてもらったほうが状況を改善する早道ではないかとも考えてしまいます